Aerodynamische krachten en simulaties

Aerodynamisch ontwerpen
Bij het horen van de term ‘aerodynamica’ denken we al snel aan vliegtuigen die in de lucht zweven of auto’s die over de snelweg zoeven. Maar aerodynamica, de wetenschap van hoe lucht rond objecten beweegt, speelt een belangrijke rol in veel meer alledaagse objecten.

Het gestroomlijnde ontwerp van racefietsen heeft meer redenen dan alleen om er mooi uit te zien: ze zijn tot in de precisie ontworpen om de luchtweerstand zo klein mogelijk te maken. Naast transport en sport zijn ook de gebouwen waarin we wonen en werken gestoeld op aerodynamica. Architecten en ingenieurs bekijken hoe de wind kracht uitoefent op wolkenkrabbers en constructies en optimaliseren het ontwerp voor een zo gunstig mogelijk windklimaat.

Elk object reageert op zijn eigen manier op lucht en ervaart krachten die voordelig of nadelig kunnen zijn. Vliegtuigen vormen een goed voorbeeld van de balans die bij aerodynamica zo belangrijk is. Vliegtuigen moeten in alle fasen van de vlucht voldoende opwaartse druk (lift, L) genereren, zowel bij het opstijgen als tijdens het vliegen op kruissnelheid als bij het landen. Tegelijkertijd moet de stromingsweerstand (drag, D) – de tegengestelde kracht van de voorwaartse beweging – zo laag mogelijk zijn met het oog op brandstofefficiëntie. De uitdaging is om de perfecte balans te vinden tussen deze twee krachten. Zweefvliegtuigen zijn een schoolvoorbeeld van een optimale balans in dit opzicht. Sommige moderne zweefvliegtuigen kunnen meer dan 60 kilometer afleggen terwijl ze dalen vanaf slechts 1000 meter hoogte.

Aerodynamische krachten
Het is niet moeilijk om voor te stellen dat een grote vrachtwagen meer weerstand ervaart bij het bewegen door de lucht dan een kleine gestroomlijnde auto op zonne-energie. Hoe groot het verschil is, kan worden gekwantificeerd door de weerstand rond de verschillende vormen te berekenen. Deze stromingsweerstand wordt als volgt gedefinieerd:

Uit deze vergelijking kan worden afgeleid dat naarmate de snelheid (velocity, V) van een object toeneemt, de weerstand exponentieel toeneemt. Vandaar dat wanneer de snelheid van een auto of ander object toeneemt de aerodynamische krachten in grotere mate bijdragen aan de totale weerstand. De optimale vorm van een object om deze krachten te verminderen, wordt steeds belangrijker naarmate de snelheid toeneemt. De stromingsweerstand kan op twee manieren worden verminderd: door het frontoppervlak (S) te minimaliseren, en door te zorgen voor een soepele luchtstroom rond een object, zoals beschreven door de weerstandscoëfficiënt (drag coefficient, Cd).

Opwaartse druk wordt op een vergelijkbare manier berekend:

Waarbij een grotere opwaartse druk weer kan worden verkregen door een toename in snelheid (V), oppervlak (S) of liftcoëfficiënt (Cl). De kleppen aan een vliegtuigvleugel, die tijdens het opstijgen of landen worden uitgeschoven, dienen om de liftcoëfficiënt te vergroten. En de grote achtervleugel van een Formule 1-wagen is ontworpen met een negatieve liftcoëfficiënt om te zorgen voor cruciale downforce en grip.

Bepalen van aerodynamische krachten
Met behulp van experimentele aerodynamica kunnen we de krachten op een lichaam direct meten. Hiervoor laten we de lucht om het object stromen, bijvoorbeeld in een windtunnel, of bewegen we het object in veldtests door de lucht. In een windtunnel vangt een balans de krachten op die op het object inwerken, vergelijkbaar met hoe een weegschaal ons gewicht meet. Veldtests met bijvoorbeeld auto’s zijn meer gericht op energieverbruik. Zo wordt bij uitroltests gekeken hoe een auto vanaf een bepaalde snelheid vertraagt; met deze gegevens, gecombineerd met informatie over andere krachten op de auto, kunnen de aerodynamische krachten worden bepaald.

Historisch gezien waren deze experimentele technieken de norm. Maar met het voortschrijden van de technologie, met meer rekenkracht en verfijnde numerieke methoden, is het simuleren van luchtstromen rond objecten gebruikelijker geworden. Dit zich ontwikkelende domein wordt numerieke aerodynamica of Computational Fluid Dynamics (CFD) genoemd.

In de kern ontstaan aerodynamische krachten uit twee hoofdbronnen: de verdeling van de druk en de schuifspanning over het oppervlak van een object (zie afbeelding¹ hieronder). De eerste leidt tot een kracht die loodrecht op het oppervlak inwerkt en weerspiegelt hoe de lucht druk op het object uitoefent. De tweede, schuifspanning, werkt tangentieel, als gevolg van de wrijving tussen de lucht en het object. Een glad oppervlak zoals glas heeft minder wrijving dan een ruw oppervlak zoals schuurpapier.

Om de aerodynamische krachten numeriek te berekenen, moeten deze verdelingen over het oppervlak van het object worden geïntegreerd. Hiervoor moet het oppervlak in kleine vlakken worden verdeeld en de bijdragen van druk en schuifspanning bij elkaar worden opgeteld. Alle elementen in horizontale richting vormen samen de stromingsweerstand, de elementen in verticale richting dragen bij aan de opwaartse druk.

Het op deze manier bepalen van de krachten is alleen mogelijk als de verdelingen van druk en schuifspanning over het oppervlak van een object bekend zijn. Hoe dit met behulp van CFD wordt bereikt, wordt in de volgende alinea beschreven.

De basis van CFD

Fundamentele vergelijkingen
Aan de basis van CFD liggen fundamentele principes die altijd gelden, ook buiten aerodynamica. Deze principes zijn:

• Behoud van massa; er komt geen massa bij, maar er gaat ook geen massa verloren
• Behoud van impuls, afgeleid van de tweede wet van Newton: kracht = massa x versnelling
• Behoud van energie; er komt geen energie bij, maar er gaat ook geen energie verloren, het kan alleen van de ene vorm in de andere veranderen

Deze fundamentele principes kunnen worden gebruikt om de heersende stromingsvergelijkingen voor continuïteit, impuls en energie af te leiden, zoals hieronder weergegeven. Deze worden ook wel Navier-Stokesvergelijkingen genoemd. Ze worden slechts ter illustratie getoond, aangezien de gedetailleerde uitleg buiten het bestek van dit essay valt.

Discretisering van het probleem
In de praktijk zijn vloeistofproblemen continu. Maar computers kunnen alleen met discrete data werken. Het continue stromingsveld rond een object moet dus worden opgesplitst of ‘gediscretiseerd’ in kleinere oplosbare delen. De verdeling van het stromingsveld in kleinere stukjes, ook wel cellen genoemd, levert een mesh op. In de afbeelding² hieronder zien we een 2D mesh rond een vleugelprofiel. De cellen dicht bij het oppervlak van de vleugel zijn kleiner, omdat daar de grootste veranderingen in stroming worden verwacht en er daarom meer cellen nodig zijn om de details vast te leggen.

Om de Navier-Stokesvergelijkingen in deze cellen te kunnen oplossen, moeten ze worden omgezet in algebraïsche vorm. Deze discretisatie kan worden verkregen met verschillende methoden, waarbij de oplossing in een cel afhankelijk is van de variabelen van de naburige cellen. Discretisatie levert per definitie een benaderde oplossing op en brengt fouten met zich mee. De nauwkeurigheid van deze discretisatietechnieken varieert, waarbij nauwkeurigere methoden meestal meer rekentijd vergen.

Modellering van turbulentie
Je kunt je voorstellen dat het oplossen van een rustige en ordelijke luchtstroom makkelijker is dan een willekeurige, chaotische stroom. Deze laatste, turbulente stroming, komt echter vrij veel voor: rond de wielen van een auto, achter windturbines of rond gebouwen. De Navier-Stokesvergelijkingen beschrijven in principe ook turbulente stromingen. Om alle schalen van turbulentie direct te kunnen oplossen, van de grootste energie bevattende wervels tot de kleinste dissipatieve schalen, is echter veel rekenkracht nodig. In plaats daarvan zijn verschillende modellen ontwikkeld om de effecten van turbulentie te benaderen. Met deze benadering kunnen turbulente stromingen worden gesimuleerd zonder dat elk detail direct wordt opgelost. Daardoor kunnen met de beschikbare rekenmiddelen ook complexe turbulente stromingen worden bestudeerd.

De benaderingen verschillen dus in bijv. nauwkeurigheid, toepasbaarheid en tijd om op te lossen. Een veel gebruikte benadering is de RANS-methode (Reynolds-Averaged Navier-Stokes), waarbij de turbulentie wordt gemodelleerd met een gemiddelde en een fluctuerende term. Met deze methode wordt een tijdgemiddelde oplossing verkregen zonder het tijdsafhankelijke stromingsgedrag in detail te beschrijven. De RANS-simulatie kan relatief snel worden opgelost en de nauwkeurigheid is voor de meeste toepassingen voldoende. Als stromingen erg chaotisch of complex worden, heeft deze methode niet de voorkeur. In dat geval moeten andere, nauwkeurigere methoden met meer rekenkracht worden gebruikt.

Het oplossen van de vergelijkingen
Het oplosdeel van CFD begint met een eerste schatting van de stromingsvariabelen; daarna wordt de oplossing iteratief verbeterd. Elke iteratie van de oplossing van de vorige iteratie wordt gebruikt om nieuwe stromingseigenschappen te berekenen. Of de simulatie is geconvergeerd naar een oplossing wordt meestal gecontroleerd door residuen te bewaken. Deze vormen een maatstaf voor de onbalans in de opgeloste vergelijkingen. Zodra residuen onder een bepaalde drempelwaarde vallen, is de oplossing geconvergeerd naar de uiteindelijke oplossing.

Resultaten
Met de resulterende druk- en schuifspanningsverdelingen kunnen de aerodynamische krachten worden berekend. Behalve met deze krachten kunnen de resultaten van een CFD- simulatie worden weergegeven door beelden van het stromingsveld rond een object. Bijvoorbeeld het drukveld over een vleugelprofiel of het snelheidsveld rond een auto (zie afbeelding³ hieronder). Het rode gedeelte boven het dak van de auto’s toont een toename in snelheid, terwijl de snelheid achter de auto in het blauwe gedeelte laag is. Dit gebied met lage snelheid achter de auto wordt de wake genoemd en geeft een indicatie van de stromingsweerstand op de auto. Gewoonlijk geldt dat hoe kleiner dit blauwe gebied is, des te lager de weerstand. Deze visuele resultaten kunnen een dieper inzicht bieden in de aerodynamische efficiëntie van een ontwerp, iets wat met windtunnelexperimenten moeilijker te bereiken is.

Slotopmerkingen
Navigeren in de wereld van CFD is meer dan alleen waarden invoeren en wachten op de resultaten. Gezien de talloze opties wat betreft methoden en modellen en de eisen voor een robuust computermesh moeten gebruikers een goed begrip hebben van de aannames die van toepassing zijn om zinvolle resultaten te garanderen. CFD is dan ook niet de oplossing voor alle aerodynamische problemen, maar eerder een van de instrumenten, naast analytische methoden en windtunnelexperimenten. Dankzij de toepassing van al deze instrumenten kunnen we objecten ontwerpen voor optimale aerodynamica.

Referenties:
In het gehele essay wordt gebruikgemaakt van referentie [1].
[1] Anderson, John , Jr.: Fundamentals of Aerodynamics (4e ed.), McGraw-Hill, New York, 2007.
[2] Rahman, Md & Agarwal, Ramesh & Lampinen, Markku & Siikonen, An Improved Version of One-Equation RAS Turbulence Model. 45th AIAA Fluid Dynamics Conference, 2015.
[3] Lietz, Robert & Larson, Levon & Bachant, Pete & Goldstein, John & Silveira, Rafael & Shademan, Mehrdad & Ireland, Pete & Mooney, An Extensive Validation of an Open Source Based Solution for Automobile External Aerodynamics, WCX™ 17: SAE World Congress Experience, 2017.